Miejska Biblioteka

Spis treści:

1. Wstęp
2. § 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe
3. 1. Zbiory
4. 2. Działania na zbiorach
5. 3. Produkty kartezjańskie
6. 4. Relacje równoważności. Podział na klasy
7. 5. Funkcje
8. 6. Zbiory przeliczalne
9. § 2. Liczby rzeczywiste
10. J. Zbiór R liczb rzeczywistych jako ciało
11. 2. Relacja mniejszości. Zasada ciągłości
12. 3. Przedziały. Wartość bezwzględna
13. 4. Przykłady zastosowania zasady ciągłości
14. 5. Funkcje o wartościach rzeczywistych
15. § 3. Liczby zespolone
16. 1. Ciało C liczb zespolonych
17. 2. Geometryczna interpretacja liczb zespolonych. Moduł i argument liczby
18. 3. Funkcje o wartościach zespolonych
19. Rozdział I. Elementy topologii
20. § 4. Przestrzenie metryczne
21. 1. Definicja
22. 2. Średnica zbioru. Zbiory ograniczone
23. 3. Granica ciągu punktów
24. § 5. Granica ciągu liczbowego
25. 1. Własności granicy ciągu liczbowego
26. 2. Granica ciągu liczb rzeczywistych
27. 3. Przykłady
28. 4. Liczba e
29. § 6. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R
30. 1. Definicje
31. 2. Granice ekstremalne ciągu
32. 3. Granica ciągu
33. 4. Funkcje o wartościach w R
34. § 7. Przestrzenie metryczne zupełne
35. 1. Definicja. Zupełność przestrzeni R
36. 2. Twierdzenie o punkcie stałym
37. § 8. Produkt kartezjański przestrzeni metrycznych
38. 1. Metryka i zbieżność w produkcie
39. 2. Produkt przestrzeni zupełnych
40. § 9. Granica funkcji
41. 1. Granica funkcji w punkcie
42. 2. Granica funkcji o wartościach liczbowych
43. 3. Granica funkcji o wartościach rzeczywistych
44. 4. Granica funkcji zmiennej rzeczywistej
45. 5. Granica funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych
46. 6. Przykłady
47. § 10. Funkcje ciągłe
48. 1. Definicja i podstawowe twierdzenia
49. 2. Przykłady
50. §11. Ciągi funkcyjne
51. 1. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna
52. 2. Własności granicy ciągu zbieżnego jednostajnie
53. § 12. Przestrzenie topologiczne
54. 1. Topologia. Zbiory otwarte. Wnętrze zbioru
55. 2. Zbiory domknięte. Domknięcie zbioru
56. 3. Topologia w przestrzeni metrycznej
57. § 13. Topologia w podzbiorze przestrzeni topologicznej
58. 1. Topologia indukowana
59. 2. Przypadek przestrzeni metrycznej
60. § 14. Produkt kartezjański przestrzeni topologicznych
61. 1. Topologia w produkcie
62. 2. Przypadek produktu przestrzeni metrycznych
63. §.15. Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych
64. 1. Definicja
65. 2. Homeomorfizmy
66. § 16. Przestrzenie ośrodkowe
67. 1. Definicja
68. 2. Przypadek przestrzeni metrycznej
69. 3. Produkt kartezjański przestrzeni ośrodkowych
70. § 17. Przestrzenie zwarte
71. 1. Definicja. Przypadek przestrzeni metrycznej
72. 2. Produkt kartezjański przestrzeni zwartych
73. 3. Funkcje ciągłe na przestrzeniach metrycznych zwartych
74. 4. Przestrzeń C(X ; Y)
75. § 18. Przestrzenie spójne
76. 1. Definicja. Zbiory spójne w przestrzeni R
77. 2. Kryteria spójności
78. 3. Zastosowanie: funkcje cyklometryczne i funkcja logarytmiczna
79. Rozdział II. Elementy analizy funkcjonalnej
80. § 19. Przestrzenie unormowane
81. 1. Przestrzenie liniowe
82. 2. Przykłady
83. 3. Podstawowe pojęcia geometryczne
84. 4. Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha
85. 5. Produkt kartezjański przestrzeni unormowanych
86. 6. Wektory styczne do zbioru. Hiperpłaszczyzna styczna
87. 7. Funkcje o wartościach w przestrzeni unormowanej
88. 8. Przestrzeń unormowana C(X ; Y)
89. § 20. Przestrzenie unitarne
90. 1. Iloczyn skalarny. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta
91. 2. Ortogonalność. Rzut ortogonalny
92. 3. Przestrzenie unitarne skończenie wymiarowe
93. § 21. Funkcje liniowe
94. 1. Definicja. Funkcje liniowe ciągłe
95. 2. Zbiór funkcji liniowych ciągłych L (X ; Y) jako przestrzeń unormowana
96. 3. Przykłady
97. § 22. Funkcje wieloliniowe
98. 1. Definicja. Funkcje wieloliniowe ciągle
99. 2. Przestrzeń L(X1 , …, Xk ; Y)
100. 3. Przykłady
101. § 23. Szeregi
102. 1. Szeregi elementów przestrzeni unormowanych. Ogólne kryteria zbieżności
103. 2. Przykłady
104. 3. Szeregi zbieżne bezwzględnie
105. 4. Szeregi liczb nieujemnych
106. 5. Szeregi podwójne elementów przestrzeni unormowanej
107. 6. Twierdzenie Cauchy`ego o mnożeniu szeregów
108. 7. Szeregi podwójne liczb nieujemnych
109. 8. Szeregi funkcyjne
110. § 24. Izomorfizmy i izometrie
111. 1. Przestrzenie izomorficzne
112. 2. Przestrzenie izometryczne
113. 3. Przykłady
114. Rozdział III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego
115. § 25. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej
116. 1. Definicje
117. 2. Interpretacja geometryczna pochodnej
118. 3. Podstawowe reguły różniczkowania
119. § 26. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych
120. 1. Przykłady
121. 2. Pochodna nieskończona
122. 3. Twierdzenia Rolle`a, Lagrange`a i Cauchy`ego"
123. 4. Reguły de L`Hospitala
124. § 27. Ogólne twierdzenia o przyrostach dla funkcji zmiennej rzeczywistej
125. 1. Problem uogólnienia twierdzeń Lagrange`a i Cauchy`ego na przypadek funkcji o wartościach w przestrzeniach unormowanych
126. 2. Zastosowanie: pochodna granicy
127. § 28. Pochodne wyższych rzędów funkcji zmiennej rzeczywistej
128. 1. Definicje
129. 2. Zastosowanie pochodnej rzędu drugiego do badania wypukłości funkcji
130. 3. Wzór Taylora
131. 4. Szereg Taylora
132. 5. Funkcja wykładnicza i funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej
133. § 29. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych rzeczywistych
134. 1. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego
135. 2. Twierdzenie o przyrostach. Warunek Lipschitza
136. 3. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
137. § 30. Pochodne kierunkowe
138. 1. Definicje
139. 2. Związek z pochodnymi cząstkowymi
140. § 31. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona
141. 1. Funkcja pierwotna
142. 2. Całka nieoznaczona
143. 3. Reguły całkowania
144. 4. Całkowanie funkcji elementarnych
145. § 32. Całka oznaczona funkcji ciągłej
146. 1. Definicja
147. 2. Wzory rachunkowe
148. 3. Nierówności. Twierdzenie o wartości średniej
149. Rozdział IV. Równania różniczkowe zwyczajne
150. § 33. Ogólna teoria równań różniczkowych
151. 1. Równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Zagadnienie początkowe
152. 2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego
153. 3. Układy równań różniczkowych rzędu pierwszego
154. 4. Równania różniczkowe wyższych rzędów
155. § 34. Równania różniczkowe liniowe
156. 1. Układy równań liniowych rzędu pierwszego
157. 2. Układy równań liniowych o stałych współczynnikach
158. 3. Równanie liniowe rzędu n
159. 4. Równanie liniowe rzędu n o stałych współczynnikach
160. Rozdział V. Ogólna teoria różniczkowania
161. § 35. Pochodna funkcji określonej na podzbiorze przestrzeni unormowanej
162. 1. Definicja. Związek z pochodną kierunkową
163. 2. Przypadek funkcji zmiennej rzeczywistej. Równoważność obu definicji pochodnej
164. 3. Interpretacja geometryczna pochodnej
165. 4. Przykłady 219 5. Liniowość operacji różniczkowania
166. 6. Twierdzenie o przyrostach
167. § 36. Pochodna funkcji wielu zmiennych. Związek z pochodnymi cząstkowymi
168. 1. Pochodna funkcji określonej na podzbiorze przestrzeni Rm
169. 2. Uogólnienie: pochodna funkcji określonej na podzbiorze produktu przestrzeni unormowanych
170. 3. Pochodna funkcji o wartościach w produkcie przestrzeni unormowanych
171. 4. Synteza obu przypadków
172. § 37. Różniczkowanie złożenia
173. 1. Ogólne twierdzenie o pochodnej złożenia
174. 2. Różniczkowanie złożenia w przestrzeniach arytmetycznych
175. 3. Uogólnione twierdzenie o pochodnej iloczynu
176. § 38. Dyfeomorfizmy
177. 1. Różniczkowanie funkcji odwrotnej
178. 2. Odwzorowania regularne i dyfeomorfizmy
179. § 39. Funkcje uwikłane
180. 1. Ogólne twierdzenie o funkcjach uwikłanych
181. 2. Funkcje uwikłane określone układem równań w przestrzeniach arytmetycznych
182. § 40. Pochodne wyższych rzędów
183. 1. Wstęp
184. 2. Pochodna rzędu drugiego
185. 3. Pochodna rzędu n
186. 4. Przypadek funkcji zmiennej rzeczywistej. Równoważność obu definicji pochodnej rzędu n
187. 5. Funkcje klasy Cn
188. 6. Pochodna rzędu n funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Związek z pochodnymi cząstkowymi
189. 7. Wzór Taylora
190. § 41. Ekstrema funkcji
191. 1. Definicja
192. 2. Kryteria
193. Rozdział VI. Teoria miary i całki
194. § 42. Ogólna teoria miary
195. 1. Wstęp
196. 2. σ-ciała
197. 3. Miara
198. 4. Miara zewnętrzna
199. § 43. Miara Lebesgue`a w Rm
200. 1. Przedziały. Objętość przedziału
201. 2. Miara Lebesgue`a
202. 3. Charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue`a
203. § 44. Funkcje mierzalne
204. 1. Definicja
205. 2. Działania na funkcjach mierzalnych
206. § 45. Całka funkcji mierzalnej nieujemnej
207. 1. Całka funkcji prostej nieujemnej
208. 2. Definicja całki funkcji mierzalnej nieujemnej
209. 3. Podstawowe własności całki
210. 4. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki
211. 5. Całka jako funkcja zbioru
212. § 46. Całka funkcji o wartościach w przestrzeni Banacha
213. 1. Całka funkcji prostej
214. 2. Całkowalność i definicja całki
215. 3. Podstawowe własności funkcji całkowalnych
216. 4. Przypadek funkcji o wartościach rzeczywistych
217. 5. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki
218. 6. Całka jako funkcja zbioru
219. § 47. Całka Lebesgue`a
220. 1. Wstęp
221. 2. Całka funkcji ciągłej
222. 3. Całka funkcji jednej zmiennej. Całki niewłaściwe
223. 4. Zasada Cavalieriego
224. 5. Geometryczna interpretacja całki funkcji mierzalnej nieujemnej
225. 6. Całkowanie przez sprowadzenie do całki iterowanej
226. 7. Całkowanie przez podstawienie
227. 8. Całka jako funkcja parametrów
228. Rozdział VII. Całki na hiperpowierzchniach
229. § 48. Hiperpowierzchnie
230. 1. Definicja
231. 2. Odwzorowania regularne podzbiorów przestrzeni Rk w przestrzeń Rm (k m). Dyfeomorfizmy
232. 3. Hiperpowierzchnie gładkie i kawałkami gładkie
233. 4. Łuki i kontury
234. 5. Podprzestrzeń styczna i hiperpłaszczyzna styczna
235. § 49. Miara i całka na hiperpowierzchniach
236. 1. Objętość równoległościanu k-wymiarowego w Rm
237. 2. Miara i całka na hiperpowierzchni gładkiej
238. 3. Miara i całka na hiperpowierzchni kawałkami gładkiej
239. § 50. Formy różniczkowe
240. 1. Funkcje wieloliniowe skośnie symetryczne
241. 2. Iloczyn zewnętrzny funkcji wieloliniowych skośnie symetrycznych
242. 3. Formy różniczkowe
243. 4. Iloczyn zewnętrzny form różniczkowych
244. 5. Różniczka zewnętrzna funkcji
245. 6. Postać kanoniczna formy różniczkowej
246. 7. Różniczka zewnętrzna formy różniczkowej
247. 8. Zamiana zmiennych w formach różniczkowych
248. § 51. Orientacja hiperpowierzchni
249. 1. Orientacja przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej
250. 2. Orientacja podprzestrzeni (k— 1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej
251. 3. Orientacja hiperpowierzchni. Hiperpowierzchnie orientowalne
252. § 52. Całka formy różniczkowej na hiperpowierzchni zorientowanej
253. 1. Definicja i podstawowe własności całki
254. 2. Twierdzenie o rozkładzie jedności
255. 3. Twierdzenie Stokesa
256. § 53. Całka 1-formy po drodze
257. 1. Definicja i podstawowe własności całki
258. 2. Funkcja pierwotna i niezależność od drogi całkowania
259. 3. Przypadek formy zamkniętej
260. 4. Interpretacja w teorii pola
261. Rozdział VIII. Funkcje zmiennej zespolonej
262. § 54. Różniczkowanie i całkowanie w dziedzinie zespolonej
263. 1. Pochodna. Funkcje holomorficzne
264. 2. Szeregi potęgowe
265. 3. Kryterium różniczkowalności
266. 4. Całkowanie po drodze. Funkcja pierwotna
267. 5. Logarytm
268. 6. Całka krzywoliniowa
269. § 55. Wzór całkowy Cauchy`ego i jego konsekwencje
270. 1. Wzór całkowy Cauchy`ego
271. 2. Rozwijalność funkcji holomorficznej w szereg potęgowy. Funkcje analityczne
272. 3. Zera funkcji holomorficznej
273. 4. Rozwinięcie funkcji holomorficznej w szereg Laurenta
274. 5. Punkty osobliwe odosobnione
275. 6. Residua funkcji holomorficznej
276. Rozdział IX. Wstęp do analizy harmonicznej
277. § 56. Szeregi Fouriera
278. 1. Szereg Fouriera funkcji okresowej
279. 2. Kryterium Diniego
280. 3. Funkcje o wahaniu skończonym
281. 4. Kryterium Jordana
282. § 57. Wzór całkowy Fouriera
283. 1. Wstęp
284. 2. Kryteria przedstawialności funkcji wzorem całkowym Fouriera
285. Literatura
286. Skorowidz

Zobacz spis treści

---